一.判断下列命题是否正确,若正确给出证明,若错误举出反例.

ECNU201501 若, ,当时,有,则数列收敛.

(资料图片)

解 正确,注意到都有

由Cauchy收敛准则,命题得证.

ECNU201502 若函数列在上一致收敛于连续函数,则,均有在上连续.

解 错误,反例如下,取

于是有,而在上不连续.

ECNU201503 若函数在点连续,且存在,则在点的右导数存在.

解 错误,反例如下,取

于是有

但取且,而

右导数不存在.

ECNU201504 若函数在上连续,则,使得.

解 错误,反例如下,取,于是

0\neq f\left(\xi\right)\int_{-1}^{1}x\mathrm{d}x=0,\ \forall\xi\in\left[-1,1\right].\square" data-formula-type="block-equation">

ECNU201505 若函数的偏导数在点的某邻域内存在且有界,则在点连续.

解 正确,注意到

不妨设,于是,取,当时,有.

ECNU201506 若函数在上非负连续, 收敛,则.

解 错误,取

有

但.

二.计算题.

ECNU201507 求极限.

解 由Stirling公式得

注记 利用正项级数收敛的必要条件,由于

故正项级数收敛,于是通项趋于0,此时.

ECNU201508 计算积分,其中为的表面.

解 由对称性知

ECNU201509 计算积分.

解 计算可知

ECNU201510 求的和函数.

解 易求得收敛半径为,记和函数为,于是当时,

当时, ;当时, .

三.证明题.

ECNU201511 设函数在内每一点的左右极限都存在,证明: 在上有界.

证明 ,都存在的一个邻域,使得在上有界,于是形成的一个开覆盖,根据有限覆盖定理,于是存在有限子覆盖,使得在的上界为,于是,故在上有界.

ECNU201512 已知在上一致连续,\ 在上连续,且,证明: 在上一致连续.

证明 由于,于是对任意的,存在,对任意的,都有,于是对任意的,且,有

由Cantor定理,知在上一致连续,于是存在,当时,有,取,则有对任意的,且,都有.

ECNU201513 设正项级数收敛,且,证明: .

证明 由级数的Cauchy收敛准则知, ,有,而

于是,故.

ECNU201514 设函数在上三阶可导,且在上都有界,证明: 在上有界.

证明 由的Taylor展开,得到

作差并放缩,得到

于是

进一步得到

进一步注意到

于是得到

其中.

ECNU201515 设,函数在上可积,且,令,证明:

证明 ,当时, ,此时,于是

故

ECNU201516 设函数在上连续,在内二阶可导,且, 证明:

(i) 在内有且仅有两个零点;

(ii)存在,使得.

证明 (i)首先零点不可能唯一,若有个以上的零点,由 ,则,与题意矛盾.

(ii)记,则,由于,于是,且,而

故,于是存在使得.